ВЕСТНИК КРСУ / № 2, 2003 г.

УДК 517.977.1/.5 (575.2) (04)

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
ПРИ УПРАВЛЯЮЩЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ
В УРАВНЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Л.Г. Лелевкина – канд. физ.-мат. наук, доц.
Н.Т. Асаналиева – студентка ЕТФ

The mathematical model of the optimization of the heat conduction process is presented in this paper. In this problem the controlling parameter is the power of internal sources of heat, i.e. the control is in the heat conduction equation. One got necessary conditions of optimality on the basis of Pontryagin’s maximum principle, the conjugate system, structure of optimum control action, which has the integral form. The numerical solution of the model problem presents the special interest by its complexity, because the initial and conjugate systems are solved in opposite directions on temporary coordinate.

В работе представлена математическая модель задачи оптимизации процесса теплопроводности, в которой управляющим параметром является мощность внутренних источников нагрева, т.е. управление находится в самом уравнении. В работе [1] к решению задач такого типа применяется метод динамического программирования, что приводит к решению задач типа Риккати, численный алгоритм которых реализовать очень сложно. Поэтому в [2] математическая модель задачи оптимизации процесса теплопроводности при управлении в самом уравнении сводится к эквивалентной задаче при управлении на границе для упрощения численной реализации систем уравнений типа Риккати.

В представленной работе на основе применения принципа максимума Понтрягина получены необходимые условия оптимальности, сопряженная система, структура оптимального управляющего воздействия, которая имеет интегральную форму. Проведена численная реализация модельной задачи, представляющая особый интерес в силу своей сложности, так как решения исходной и сопряженной систем происходят в противоположных направлениях по временной координате. Таким образом, системы являются взаимосвязанными через управляющий параметр. Приведены графики полученных распределений температуры и управляющих параметров. Результаты приведены в форме таблиц.

1. Необходимое условие оптимальности. Структура оптимального управления

Рассматривается процесс теплопроводности, описываемый в декартовой системе координат уравнением [1]:

      (1)

с начальными и граничными условиями:

u(0,x)=u₀(x)      (2)

      (3)

где u(t,x) – распространение температуры в момент времени t Î (0,T) в точке x Î (0,1); q(x)p(t) – функция, характеризующая внутренние источники тепла, где p(t) – управляющий параметр, характеризующий мощность внутренних источников нагрева; h – коэффициент теплообмена с внешней средой,u₀(x) – заданная функция; T_R – температура внешней среды.

Требуется найти допустимое управление p⁰(t) и соответствующее ему решение u⁰(t,x) задачи (1)–(3), чтобы функционал

      (4)

принимал наименьшее возможное значение при р = p⁰(t) и u = u⁰(t,x).

Здесь Т – фиксированный момент времени; φ(x) – заданная функция из L₂(0,1); g(t,x) – заданная функция из L₂(Ω), где .

Пусть – произвольные функции, удовлетворяющие уравнениям (1)- (3), но не являющиеся решением задачи оптимального управления. Обозначим
.

Очевидно, что эти функции являются решением задачи

      (5)

Непосредственными вычислениями находим, что в этом случае функционал (4) получает приращение

      (6)

Для произвольной функции можем записать следующее:

.

Обозначая левую часть равенства через A[ψ,p], найдем приращение:

      (7)

Равенство (7) можно записать в виде:

      (8)

До сих пор ψ(t,x) была произвольной функцией из . Определим ее теперь как обобщенное решение краевой задачи:

      (9)

      (10)

      (11)

где u(t,x) – решение краевой задачи (1) – (3), соответствующее управлению p(t), а φ(х) – функция, фигурирующая в определении функционала I. При этом под обобщенным решением задачи (9) – (11) понимается функция , удовлетворяющая интегральному тождеству

      (12)

для любой функции , обращающейся в нуль при t = 0.

Из того, что φ(x) Î L₂(0,1) и u(T,x) Î L₂(0,1), следует, что этим тождеством функция ψ(t,x) определяется однозначно.

Из (8) и (12), полагая , получаем:

.

Следовательно, величину ΔI из (6) можно представить в виде:

      (13)

Если в формуле (13) взять вместо произвольного допустимого управления p оптимальное, т.е. p=p⁰, и соответствующее ему решение (u=u⁰, ψ=ψ⁰), то получим, что

для любого допустимого приращения Δp(t) и соответствующего ему приращения Δu(t,x).

Так как интегралы, содержащие квадраты приращения искомого решения и приращения управления, неотрицательны, то справедливо следующее утверждение.

Для того, чтобы управление p⁰(t) и соответствующее ему решение u⁰(t,x) краевой задачи (1) – (3) были оптимальными, достаточно, чтобы для соответствующей им функции ψ⁰(t,x) и любого допустимого приращения Δp(t) имело место неравенство

      (14)

Если ввести функцию Н:

, то вместо (14) можно брать неравенство

      (15)

Из (15) при оптимальном управлении p⁰(t) будем иметь следующее:

Иначе говоря, функция

      (16)

должна достигать своего максимального значения при p=p⁰(t).

Отсюда получаем, что оптимальное управление должно удовлетворять условию:

      (17)

Таким образом, найдена структура искомого оптимального управления p(t) и соответствующее ему решение u(x,t) следующих связанных между собой задач:

      (18)

      (19)

2. Численное решение модельной задачи

Для решения задачи (18), (19) предлагается следующий итерационный процесс (k – итерационный параметр) по методике, предложенной в [3]:

      (20)
и

      (21)

Для последовательного решения задач (20), (21) построим однопараметрическое семейство разностных схем с параметром Q.

Схема для решения задачи (20): n = 1, 2, ... , М

      (22)

Здесь – число Куранта; Q Î [-1,1] – параметр схемы.

Схема для решения задачи (21) имеет следующий вид: n = M, M-1, M-2, ... ,1

      (23)

По формуле трапеций интеграл (17) примет следующий вид:

Задачи (22), (23) решаются на каждом временном слое t_n методом стандартной прогонки.

3. Графические результаты

Рис. 1: а – распределение температуры; б – оптимальное управление.

Таблица 1.

Параметры N 100 T 1 M 10 a 0,0005 Θ_u(t,x) 0,6 Delta 0,0001 Θ_p(t) 0,6 L 4 Beta 10 T_R 23 Gama2 10 h 3

Таблица 2.

Результаты tau 0,111111111 Число Куранта 0,5445 Временной слой 1 Кол-во итераций 16 Абс. ошибка 9,52E-05

Рис. 1: а – распределение температуры; б – оптимальное управление.

Таблица 3.

Параметры N 100 T 1 M 10 a 0,0005 Θ_u(t,x) 0,6 Delta 0,0001 Θ_p(t) 0,6 L 4 Beta 100 T_R 23 Gama2 100 h 3

Таблица 4.

Результаты tau 0,111111111 Число Куранта 0,5445 Временной слой 1 Кол-во итераций 7 Абс. ошибка 6,46075979657749Е-6

Таблица 5.

Параметры N 100 T 1 M 10 a 0,005 Θ_u(t,x) 0,6 Delta 0,0001 0,6 L 4 Beta 100 T_R 23 Gama2 100 h 3

Таблица 6.

Результаты tau 0,111111111 Число Куранта 0,5445 Временной слой 1 Кол-во итераций 2 Абс. ошибка 927,4907175

В этих таблицах использованы следующие обозначения:
Θ_u(t,x) – параметр задачи при решении системы (22); Θ_p(t) – параметр задачи при решении системы (23); L – параметр модельной задачи, определяющий количество волн.

Анализируя приведенные выше графические результаты, можно сделать вывод, что при увеличении значений параметра β (β = 10, β = 100) число итераций уменьшается. Изменение значения малого параметра "a" влечет за собой изменение скорости сходимости процесса, т.е. при значительном увеличении параметра "a" (a = 0,0005, a = 0,005) итерационный процесс будет даже расходиться. Эти результаты приведены в табл. 2, 4 и 6.

Литература

1. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. – М.: Наука, 1978.

2. Лелевкина Л.Г., Самохвалова Т.П., Шемякина Т.А. Метод Беллмана в задачах синтеза оптимального управления индукционным нагревом металлов // Вестник КРСУ. – 2001. – Т.1. – №2. – С. 54–62.

3. Скляр С.Н., Алтынникова Л.В. Разностные схемы для решения нестационарных задач диффузионно-конвективного переноса. – Бишкек, 2001.

Назад к содержанию выпуска